数学趣题 WWWDOT-GOOGLE=DOTCOM

以前见到一道关于 Google 的数字游戏题目，要求解开隐秘的等式 WWWDOT - GOOGLE = DOTCOM，每个字母代表十个阿拉伯数字中的一个且各不相同，每个六位数字最高位都不是 0，当然显而易见地，E 和 M 是可以互换的。对于一个程序员，解决这个问题是很容易的，但今天我要讲讲小学生是怎么解决这个问题的。

把目标等式写成小学生习惯的竖式：

先罗嗦一下，对于竖式中的任何一列，X - Y = Z，只有四种情况：

1. 没有被低位借位，也不向高位借位，也就是真正的 X - Y = Z；
2. 没有被低位借位，但向高位借了一位，即 (10+X) - Y = Z，或记做 \(X_{+} - Y = Z\)；
3. 被低位借位，但不向高位借位，即 (X-1) - Y = Z，或记做 \(X^{-} - Y = Z\)；
4. 被低位借位，也向高位借位，即 (10+X-1) - Y = Z，或记做 \(X^{-}_{+} - Y = Z\)。

接下来就找竖式中的特殊情况。先看十位 O - L = O，在上述四种情况中，只有两种是可能的，即 \(O^{-}_{+} - L = O\Rightarrow L=9\) 和 \(O - L = O \Rightarrow L=0\)。

然后看千位和万位，被减数都是 W，减数都是 O，但结果却不同，说明在这两位的借位情况肯定不一样，也就只有两种可能，再结合前面提到的十位上的两种情况，可以得到：

1. \(W_{+}-O=T\)，\(W^{-}_{+}-O=O\)，\(W^{-}-G=D\)
   1. L = 0，T - E = M，D - G = C；
   2. L = 9，\(T_{+} - E = M\)，\(D^{-} - G = C\)；
2. \(W^{-}-O=T\)，W - O = O，W - G = D`
   1. L = 0，T - E = M，\(D_{+} - G = C\)；
   2. L = 9，\(T_{+} - E = M\)，\(D^{-}_{+} - G = C\)。

先看情况 1，可以推出：T = O + 1， W = 2 * O - 9，G + D = W - 1，G < D（因为百位上的减法没有向千位借位）。再根据 W、O、D 都不能为零，因此有 1 <= G < D <= W - 2 <= 7，4 <= G + D + 1 = W = 2 * O - 9 <= 8，于是 7 <= O <= 8，这样的话：

• 如果 O = 7，那么 G + D = 2 * O - 10 = 4，得到 G = 1，D = 3。那如果 L = 9，就有 C = (D - 1) - G = 1 = G，不符合题目。如果 L = 0，则 C = 2，E + M = T = O + 1 = 8 = (1 + 7) or (2 + 6) or (3 + 5)，无法给 E、M 找到不重复的数字。
• 因此只能是 O = 8，T = 9，L = 0，又有 G + D = 5，D - G = C，可以得到 G、D、C 分别是 1、5、4。于是 E + M = T = 9，得到 E、M 分别为 3、6 或者 6、3。得到此题的一组解。

用同样的方法分析情况 2，可以得到 W = 2 * O，T = O - 1，G + D = W，G > D ，因此有 1 <= D < G <= W - 1 <= 8，3 <= D + E <= W = 2 * O <= 9，得到 2 <= O <= 4。但是根据 C 与 D 和 G 的关系不难发现，不论 O、L 取什么值，都无法找到不重复的 C 值。因此第二种情况无解。

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